Es célebre la siguiente anécdota:
Tenía Gauss diez años cuando un día en la escuela el profesor mandó sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad... pero transcurridos pocos segundos Gauss levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss? Pues mentalmente se dio cuenta de que la suma del primer término con el último, la del segundo con el penúltimo, y así sucesivamente, era constante:
1, 2, 3, 4, ..., 97, 98, 99, 100
1+100 = 2+99 = 3+98 = 4+97 =... = 101
Con los 100 números se pueden formar 50 pares, de forma que la solución final viene dada por el producto
Gauss había deducido la fórmula que da la suma de n términos de una progresión aritmética de la que se conocen el primero y el último término:
dónde a1 es el primer término, an el último, y n es el número de términos de la progresión.
Hay una demostración gráfica de esta fórmula que es la siguiente. En la imagen izquierda tenemos un conjunto de elementos en color naranja, de los cuales hay un total de 1+2+3+...10 elementos. A su lado derecho hemos dispuesto el mismo número de elementos en color verde.
A continuación podemos ver cómo uniendo los dos conjuntos anteriores de manera adecuada, podemos formar un rectángulo de 10x(10+1) elementos. De forma que ahora ya para saber el número de elementos del primer o bien del segudo conjunto, solo hace falta dividir por dos el resultado. Tenemos un total de (10·11)/2=55 elementos. De manera similar pero con mas trabajo, se podria ver cómo la suma de los 100 primeros es 5050.
Como ejercicio de síntesis, se propone al lector hacer la suma de los 50 primeros números enteros. Para hecerlo, se debe hacer con los métodos explicados.
